Математическая модель колебаний экипажа с учетом упруго-инерционных характеристик колесной пары

Расчеты динамического воздействия на путь от колебаний не-обрессоренных частей тепловозов проводят без учета упруго-инерционных характеристик колесной пары. Чтобы оценить правомерность введения в расчет характеристик колесной пары, определим границы низших частот собственных колебаний системы колесная пара - путь.

При определении форм собственных колебаний колесной пары приняты следующие положения и допущения: влияние посадки колесных центров и перерезывающих сил на форму кривой изгиба оси колесной пары не учитывается (дополнительный прогиб составляет менее одного процента); распределенное приложение нагрузок к оси колесной пары заменяется сосредоточенным.

Схема колебательной системы колесной пары тепловоза с восемью сосредоточенными массами и двумя сосредоточенными моментами показана на рис. 15.

Схема приложения сосредоточенных нагрузок к оси колесной пары

Рис. 15. Схема приложения сосредоточенных нагрузок к оси колесной пары:

1 - неразрезная балка с промежуточными опорами; 11- основная, статически определимая система

Распределенная масса средней части оси заменена эквивалентными сосредоточенными массами в сечениях 2, 5 и 7 в соотношении 0,25:0,5:0,25. Распределенная масса буксовых шеек оси на длине I также приведена к динамическим эквивалентным сосредоточенным массам:

сечение ........ 1 2

масса, %....... 25 75

Динамический расчет форм собственных колебаний системы колесной пары по рис. 15 показывает, что упругая линия изогнутой оси, соответствующая первой нормальной форме, не имеет точек перегиба. Соответствующее этой форме распределение сил инерции создает однозначную эпюру изгибающих моментов, при которой силы инерции консольных частей направлены противоположно силам инерции средней части.

Существует несколько способов определения низших частот колебаний многомассовых систем. Основной из них - энергетический, при котором предварительно задается одна из форм колебаний:

УI (xt) = у I (x) sin (Pit + l).

При энергетическом способе получаются завышенные значения низших частот, так как отклонение принятой формы колебаний от фактической равнозначно наложению дополнительных связей на упругую колесную пару. Из разновидностей энергетического способа наиболее точным является тот, при котором частота первой формы колебаний наименьшая. Наилучшее приближение дает кривая прогибов от фактически приложенных нагрузок; при этом учи-тывается( реальная конфигурация оси колесной пары, т. е. она рассчитывается как балка переменного сечения.

Уточнить частоту можно методом последовательных приближений, поочередно загружая ось колесной пары силами инерции сосредоточенных и распределенных масс. Еще большая точность может быть достигнута с помощью способа Граммеля, в котором дифференцирование при определении потенциальной энергии заменено интегрированием.

Все указанные разновидности энергетического способа дают приближение основной частоты сверху, т. е. несколько завышенное. В способе Донкерлея приближение получается снизу. В основе метода лежит принцип последовательного загружения сложной системы, которая как бы расчленяется на отдельные подсистемы с одной степенью свободы:

Щ = S mfiu + 21И (*)s (*)dx-

Здесь первый член правой части - сумма элементов главной диагонали определителя частотного уравнения; второй член правой части учитывает влияние распределенных масс; 6« - прогиб

Способ расчета Конструктивное исполнение колесной пары Частота,

Гц

Энергетический Серийное 56,7
То же Диаметр средней части оси уменьшен до 190 мм 54
Без учета необрессоренных масс ТЭД и редуктора 89,8
Донкерлея Серийное 47,3

балки при приложении единичной силы в точке закрепления массы Ши х - текущая координата.

Результаты расчетов низшей частоты колебаний колесной пары различного исполнения тепловоза 2ТЭ10В по разным способам приведены в табл. 6 (без учета упруго-инерционных характеристик пути).

При задании формы колебаний от статических нагрузок низшая частота равна 56,7 Гц, а найденная по способу Донкерлея - 47,3 Гц, т. е. находится в рабочем диапазоне частот колебаний КМБ. Поскольку колесная пара с упругой осью является колебательной системой с несколькими степенями свободы, следует определять не только низшую, но и более высокие частоты собственных колебаний, измеряемых на КМБ в реальных условиях.

Математическая модель колесной пары на жестком пути представляет колебательную систему с восемью степенями свободы. За обобщенные координаты системы д - примем соответственно вертикальные перемещения сосредоточенных масс и углы поворота колесных центров. При решении дифференциальных уравнений изгибных колебаний балок используется каноническая форма метода сил и перемещение ?-й точки выражается через действующие силы (силы инерции):

П

Яг = - 2 /=1

где 6,, - коэффициент податливостей балки, определяемый способом Верещагина или непосредственно по формулам прогибов двухконсольной балки, последовательно загружаемой единичными силами в сечениях 1-8 и моментами в сечениях 2 и 7.

Систему уравнений можно представить в матричной форме

{<?} = - !! б II • II а II {?}, (9)

{д} - матрица-столбец обобщенных координат; ||6|| - квадратная матрица коэффициентов податливостей, симметричная относительно главной диагонали (по теореме взаимности); ||а|| - диагональная матрица коэффициентов инерции системы.

Малые колебания системы совершаются вокруг положения устойчивого равновесия, поэтому корни уравнения (9) являются действительными и положительными. Каждому характеристическо му числу матрицы соответствует одна из главных форм колебаний. Обобщенная задача нахождения собственных значений и собственных вейторов решалась методом вращения Якоби. Расчеты проводились на ЦВМ ЕС-1022. Сопоставлены два варианта: 1) серийный (восемь степеней свободы); 2) без учета сил инерции вращения колесных центров при изгибе оси (шесть степеней свободы). Ниже приведены следующие значения собственных частот, Гц.

Вариант 1 .......... 55,3 126,4 207 301 368 541 895 1612

Вариант 2 .......... 63,1 156,8 214 360 793 1486 - -

Наименьшая частота, равная 55,3 Гц, находится в границах, найденных приближенными способами. Семь из восьми частот находятся в пределах до 1000 Гц, что свидетельствует о необходимости исследования колебаний необрессоренных частей тепловозов с учетом упруго-инерционных характеристик КМБ.

С учетом упругости пути расчетная схема, показанная на рис. 15, представляет консервативную систему с десятью степенями свободы. Принимая за обобщенные координаты 91 - дто вертикальные перемещения оси в сечениях 1-8 и углы поворота в сечениях 2 и 7, отсчитанные от положения устойчивого равновесия, получим выражение кинетической энергии в виде

Для определения потенциальной энергии необходимо решить многократно статически неопределимую систему. Обобщенная сила по координате 9г- находится из суммы работ активных сил (включая реакции неидеальных связей) на обобщенном возможном перемещении буг (все остальные обобщенные перемещения равны нулю). Таким образом получают решение статически неопределимой балки, у которой в сечениях 1-8 введены дополнительные жесткие опоры, а в сечениях 2 и 7 отсутствует поворот сечений. Коэффициенты жесткости Сц представляют собой реакции Гі} фиктивных опор, расположенных над каждой из масс при прогибе под массой гПі - 1.

Примем (?і = 1 и получим (Зі = си, (32=?і2, (2і=С\і и т. д., поочередно загружая балку над каждой из сосредоточенных нагрузок Щ{-

Расчеты неразрезной балки, загружаемой поочередно между смежными ойорами, удобно вести методом моментных фокусов.

На рис. 15 показана расчетная схема оси колесной пары, основная (статически определимая) и система с врезанными на опорах шарнирами и приложенными опорными моментами над промежуточными опорами. Для учета упругости пути в опорных сечениях 2 и 7 необходимо при создании парциальных систем для этих сечений к получаемым значениям с2г и с7т добавить жесткость рельсовой нити (сг). Все остальные коэффициенты жестко-

сти не зависят от с2. По известным квазиупругим и инерционным характеристикам на ЦВМ решалась следующая система дифференциальных уравнений вида

II а || ¦ || ц || + || с || -{9} = 0.

Расчеты проведены для трех вариантов системы колесная пара - путь тепловоза 2ТЭ10В: 1) с десятью степенями свободы;

2) без учета инерции колесных центров (восемь степеней свободы); 3)' без учета массы ТЭД и редуктора (семь степеней свободы). Ниже приведены результаты расчетов собственных частот, Гц.

Вариант 1 . . . . 19,4 24,6 39,8 89,5 193 249 350 612 944 1876

Вариант 2 ..... 20,8 24,3 38,1 90,9 207 416 812 1516

Вариант 3 .... 22,6 30,1 52,8 127 227 276 419

Частота собственных колебаний колесной пары находится чаще всего в рабочем диапазоне, который обычно измеряется на не-обрессоренных частях тепловозов. Первые две частоты связаны с колебаниями колесной пары (вертикальные и боковые) на упругом пути, последующие частоты обусловлены различными формами изгиба оси.

Для иллюстрации влияния изгибных колебаний колесной пары на рис. 16, а приведены экспериментальные значения ФСП вертикальных ускорений букс и корпуса ТЭД в полосе частот до 160 Гц.

Энергетический спектр ускорений необрессоренных частей включает постоянную составляющую типа белого шума на всех частотах и значительное число узкополосных составляющих, соответствующих резонансным колебаниям КМБ от действия неровностей пути и зазоров в зубчатом зацеплении. Заметное накопление энергии наблюдается на частотах 40 и 80 Гц, связанных соответственно с третьей и четвертой формами изгибных колебаний оси колесной пары. Высокая дисперсия колебательного процесса наблюдается на частотах около 6 и И Гц, связанных с крутильными колебаниями элементов ТЭД.

На рис. 16, 6 показана ФСП, записанная без фильтра нижних частот (до 600 Гц). На фоне непрерывной, размытой части спектра резко выделяются узкополосные составляющие на частотах около 200; 270-300; 500 Гц и других частотах собственных колебаний системы КМБ - путь. Характерно, что с ростом частоты колебаний дисперсия колебательного процесса не только не уменьшается, а на определенных частотах увеличивается. Экспериментальные данные свидетельствуют о необходимости составления математической модели колебательного процесса необрессоренных частей экипажа с более полным учетом упруго-инерционных и диссипативных характеристик всех узлов и деталей, включая колесную пару.

Для оценки погрешности, возникающей при дискретизации сложной колебательной системы колесной пары, рассмотрены ее колебания как системы с распределенными параметрами, какой она фактически является. Для оси колесной пары, как балки постоянного сечения, уравнение колебаний в частных производных имеет вид

где ?1 - жесткость оси при изгибе; у - прогиб поперечного сечения; тр - масса, приходящаяся на единицу длины; Р (х, /) - внешняя нагрузка на единицу длины оси.

Дифференцирование по времени -^-= у, а по абсциссе ^-=у'.

дх

Обозначив с2=?7/тр, получим у-Р с2г/ = /(х, {). (И)

Уравнение (11) без правой части описывает собственные колебания. Решение его, соответствующее одной из главных форм, имеет вид у(х,^=^УТ, (12)

где У - функция только координаты х (нормальная), определяет формы колебаний; Т - функция времени.

Дифференцируя уравнение (12) по х и 1 и разделяя переменные, получим линейное дифференциальное уравнение собственных форм колебаний

У - оРУ/с2 = 0.

Приняв ш22 = А4, найдем

У - А4К = 0. (13)

Корни характеристического уравнения пх_4 = ± А; ± Иг.

Четыре функции определяют интеграл дифференциального уравнения форм колебаний:

У = А сое Ах + Д вш Ах + С ей Ах + .О Ах.

Для сложных систем удобнее решение уравнения (13) представить через функции А. Н. Крылова:

У = АД Ах + ВТ Ах + Си Ах + ПК Ах.

Уравнение (13) справедливо для свободной балки. В реальных условиях ось колесной пары упруго и жестко связана с присоединенными массами (букс, колесных центров). При наличии присоединенных масс уравнения собственных колебаний балки с распределенными параметрами будут иметь правую часть, т. е. в. уравнении (11) функция /(х, ^) включает и силы инерции сосредоточенных масс. Тогда

К-^К=^-/(0- О4)

Уравнения движения упругой колесной пары как балки постоянного сечения с присоединенными массами в сечениях 1, 2, 7 и Н (см. рис. 15) и моментами в сечениях 2 и 7 имеют вид:

участок между сечениями 1 и 2

О < х < ах;

Кх = Л5 каг + ВТ Ы

участок между сечениями 2 и 7

«і < л: < аи;

Ки = Л51гаи + ВТ кап + У^\iyklV [А {ап - сг1)];

Уп = АШка^х + ВкЯка^х + У^кШ [к (ап - а^}.

Аналогично составляем уравнения для прогиба и угла поворота в сечении 7, для прогиба в сечении <§ и два уравнения из граничных условий на правом конце оси х = I; К” = К*п = 0.

Таким образом, получено восемь уравнений и столько же неизвестных произвольных постоянных (и частота). Для составления характеристического уравнения находится определитель из коэффициентов при неизвестных Л, В, Уъ У2, У7, У8, УІ, У}• В результате решения определителя получается непрерывный спектр частот собственных колебаний системы с распределенными параметрами при наличии сосредоточенных инерционных нагрузок. Как показывают расчеты, в пределах до 1000 Гц для обеих колебательных систем спектры частот почти совпадают. В системе с распределенными параметрами максимум АЧХ на 7-10 % больше и имеет место при меньшей частоте (на 15%).

Таким образом, АЧХ необрессоренных частей тепловоза в значительной степени связана с упруго-инерционными характеристиками собственно колесной пары. В связи с этим важно установить, какое влияние оказывает учет упруго-инерционных характеристик колесной пары на колебательный процесс необрессоренных частей тепловоза и его воздействия на путь.

Источники вынужденных колебаний тепловозов | Экипажные части тепловозов | Колебания тягового привода с учетом упругости колесной пары